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Comment choisir la bonne caisse au supermarché grâce aux mathématiques

15 août 2022 à 06:00Temps de lecture3 min
Par RTBF La Première

Quelle est la file d’attente qui avance le plus vite ? C’est une question qui se pose à chacun de nous, partout : dans les aéroports, aux urgences, au supermarché, au cinéma, à la maison communale… Le physicien Pasquale Nardone nous aide à comprendre le rôle des mathématiques dans cette question.

Tout le système économique est basé sur la gestion entre, d’une part, les clients qui ont besoin de quelque chose et, d’autre part, le service qui est rendu à ces clients.

Parmi les questions fondamentales à se poser pour analyser cette gestion, il y a par exemple :

Quelle est la longueur moyenne d’une file qui va s’installer et pourquoi elle s’installe ?
Quelle est la durée moyenne d’un service qu’on va offrir aux clients ?
Quel est le taux moyen d’inactivité du service, pendant lequel on va payer quelqu’un à ne rien faire ?
Quel est le temps moyen d’attente dans une file ? etc.

Toutes ces questions font partie de ce qu’on appelle 'la recherche opérationnelle', c’est-à-dire l’application des mathématiques dans le but d’améliorer les décisions des managers. En effet, dès que l’on fait des sciences rationnelles, les mathématiques sont l’outil fondamental de traitement.

Une question de statistiques

En 1917, Agner Erlang, mathématicien danois, est le premier à travailler sur la gestion de la problématique des files d’attente, pour le branchement des connexions au réseau téléphonique de Copenhague. Mais il faut attendre 1961 pour que le mathématicien John Little, du MIT (Massachusetts Institute of Technology), trouve une réponse générale, quel que soit l’aléatoire concerné.

C’est en effet un problème de statistiques. John Little a démontré que quelle que soit la distribution aléatoire des clients qui entrent et quelle que soit la distribution du temps du service lié au traitement de ces clients, le nombre moyen de clients dans la file va être simplement le produit de la fréquence moyenne d’arrivée par le temps moyen d’attente pour obtenir ce service.

Et ce résultat est global : si vous avez 10 clients qui entrent par heure et qu’il faut une demi-heure pour traiter ce flux, vous aurez donc en moyenne 5 personnes dans la file.

Cela permet ensuite de répondre à toute une série de questions d'ordre managérial. Par exemple : vaut-il mieux des services très courts, très rapides, ou des services lents mais avec beaucoup de monde pour les faire ? Ils ont pu montrer qu’il n’est pas bon d’avoir beaucoup de services lents et très peu de services courts. La caisse moins de dix articles est un excellent plan : il vaut toujours mieux choisir celle-là quand c’est possible.

Faut-il changer de file ?

C’est un vieux problème que l’on peut ramener aux embouteillages, où on a toujours l’impression que c’est la file d’à côté qui va le plus vite. Donald Redelmeier, de l’université de Toronto, a réalisé des simulations systématiques sur le comportement des véhicules et des personnes dans les files, que l’on peut lire dans la revue scientifique Nature.

Il montre que, fondamentalement, nous connaissons un biais de mémorisation, un effet psychologique lié à cette histoire de file. A savoir que l’on mémorise beaucoup plus les événements négatifs que les événements positifs. Donc quand on avance, on est content et on l’oublie. Par contre, quand on est immobile, on râle et on s’en souvient.

Il montre aussi, mathématiquement, qu’en moyenne, les deux files vont aller à la même vitesse. Evidemment, c’est toujours 'en moyenne'. Parce que nous avons notre vécu personnel et que, si nous n’avons pas de chance, nous tombons du mauvais côté de la moyenne. Car en statistiques, il y a toujours aussi la variance, c’est-à-dire la façon qu’a la distribution aléatoire de s’étaler à gauche et à droite de la moyenne.

Les recommandations de Pasquale Nardone

Sachant cela, soyons donc plus attentifs aux côtés positifs de ce qui nous arrive dans notre propre file, arrêtons ce biais de mémorisation négative !

Et si nous sommes managers, prévoyons un mélange complexe entre les services rapides et les services lents en fonction du nombre de clients qui arrivent par heure ou par minute, et en fonction aussi de l’heure de la journée. Avec, donc, plus de personnel à certaines heures, et moins à d’autres.

Pasquale ramène sa science

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